An improved bound on the least common multiple of polynomial sequences

Cilleruelo a conjecturé que si f ϵ ℤ[x] de degré d ≥ 2 est irréductible sur les rationnels, alors log lcm(f(1), . . . , f(N)) ∼ (d − 1)N logN quand N → ∞. Il l’a prouvé dans le cas d = 2. Très récemment, Maynard et Rudnick ont prouvé qu’il existe cd > 0 tel que log lcm((f(1), . . . , f(N)) ≳ c,d N logN, et ont montré qu’on peut prendre c d = d − 1 d 2 . Nous donnons une preuve alternative de ce résultat avec la constante améliorée cd = 1. De plus, nous prouvons la minoration log rad lcm ( f ( 1 ) , … , f ( N ) ) ≥ 2 d N log N et proposons une conjecture plus forte affirmant que log rad lcm(f(1), . . . , f(N)) ∼ (d − 1)N logN quand N → ∞. Cilleruelo conjectured that if f ϵ ℤ[x] of degree d ≥ 2 is irreducible over the rationals, then log lcm(f(1), . . . , f(N)) ∼ (d − 1)N logN as N → ∞. He proved it for the case d = 2. Very recently, Maynard and Rudnick proved there exists cd > 0 with log lcm(f(1), . . . , f(N)) ≳ cd N logN, and showed one can take c d = d − 1 d 2 . We give an alternative proof of this result with the improved constant cd = 1. We additionally prove the bound log rad lcm ( f ( 1 ) , … , f ( N ) ) ≥ 2 d N log N and make the stronger conjecture that log rad lcm(f(1), . . . , f(N)) ∼ (d − 1)N logN as N → ∞.