Equivalència espectral de matrius polinomials i teorema de la suma d’índexs

Treballs Finals de Grau de Matemàtiques, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona, Any: 2024, Director: M. Eulàlia Montoro López [en] Spectral equivalence is an equivalence relation between polynomial matrices that allows us to relate matrices of different degrees and sizes with the same spectral structure. This equivalence relation enables us to define strong linearizations and $\ell$-ifications, transformations on which the companion forms we will see are based. These companion forms will help us prove the Index Sum Theorem, which establishes a fundamental relationship among the rank, degree, and the total size of the spectral and singular structure of any polynomial matrix. [ca] L'equivalència espectral és una relació d'equivalència entre matrius polinomials que ens permet relacionar matrius de diferents graus i tamanys amb la mateixa estructura espectral. Aquesta relació d'equivalència ens permet definir les linealizacions i $\ell$-ificacions fortes, transformacions en les quals es basen les formes companyes que veurem. Aquestes formes companyes ens ajudaran a demostrar el Teorema de la Suma d'Índexs, que ens defineix una relació fonamental entre el rang, grau, i el tamany total de l'estructura espectral i singular d'una matriu polinomial qualsevol.