Transition from subcritical to supercritical bifurcation in penetrative convection in a vertical cylinder

The stability of a vertical cylindrical column of water with the horizontal bottom boundary maintained at 0°C and the temperature of the top boundary varying between 4 and 8°C is considered. A weakly non-linear analysis shows that the bifurcation is either supercritical or subcritical depending upon the values of two parameters: the aspect ratio of the cylinder (height/radius) which is varied between 2 and 4, and the penetration parameter μ defined as the ratio of the whole height over the height of the 4°C isotherm. For a given value of the aspect ratio, the bifurcation is supercritical when the whole height is unstable ( μ = 1) and becomes subcritical above a particular value of μ when penetration occurs ( μ > 1). On considère la stabilité d'une colonne d'eau dans un cylindre vertical lorsque la température à la base du cylindre est maintenue à 0°C et la temperature au sommet varie entre 4 et 8°C. L'analyse de la transition vers le régime convectif faiblement non linéaire montre que la bifurcation est soit supercritique soit sous-critique selon les valeurs prises par deux parametres: le rapport d'aspect du cylindre (hauteur/rayon) qui varie de 2 à 4, et le paramètre de pénétration μ défini comme le rapport de la hauteur totale de fluide à la hauteur de l'isotherme 4°C. Pour une valeur donnée du rapport d'aspect, la bifurcation est super-critique lorsque toute la colonne est instable ( μ = 1) et devient sous-critique au-dessus d'une certaine valeur de μ lorsqu'il y a pénétration ( μ > 1). Es wird die Stabilität einer senkrechten zylindrischen Wassersäule untersucht, deren waagerechte untere Stirnfläche auf 0°C gehalten wird, während die Temperatur der oberen Stirnfläche zwischen 4 und 8°C variiert. Eine leicht nichtlineare analytische Untersuchung zeigt, daβ die Gabelströmung entweder überkritisch oder unterkritisch ist—abhängig von zwei Parametern: dem Seitenverhältnis des Zylinders (Höhe/Radius), das zwischen 2 und 4 liegt, und dem Eindringparameter μ, der als das Verhältnis der gesamten Höhe zur Höhe der 4°C-Isothermen definiert ist. Für einen vorgegebenen Wert des Seitenverhältnisses ist die Gabelströmung überkritisch, wenn die gesamte Höhe instabil ist ( β = 1), sie wird unterkritisch oberhalb eines ganz bestimmten Wertes von μ, wenn μ > 1 wird. Иccлeдyeтcя кpнвeктивнaя ycтpйчивpcть вepтикaльнpгp цилиндpичecкpгp вpдянpгp cтpлбa, нa нижнeй гpaнипe кpтpppгp пpддepживaeтcя тeмпepaтypa 0°C, a нa вepчнeй pнa измeняeтcя pт 4 дp 8°C. aнaлиз c yчeтpм cлaбpй