Travelling-wave analysis of a model of the immune response to cancer

In this paper we present a travelling-wave analysis of a mathematical model describing the growth of a solid tumour in the presence of an immune system response. From a modelling perspective, attention is focused upon the attack of tumour cells by tumour infiltrating cytotoxic lymphocytes (TICLs), in a small multicellular tumour, without necrosis and at some stage prior to (tumour-induced) angiogenesis. As we have shown in previous work, for a particular choice of parameters, the underlying reaction–diffusion–chemotaxis system of partial differential equations is able to simulate the well-documented phenomenon of cancer dormancy by depicting spatially heterogeneous tumour cell distributions that are characterized by a relatively small total number of tumour cells. This behaviour is consistent with several immunomorphological investigations. Moreover, the alteration of certain parameters of the model is enough to induce bifurcations into the system, which in turn result in tumour invasion in the form of a standard travelling wave. The work presented in this paper complements the bifurcation analysis undertaken by Matzavinos et al. [Math. Med. Biol. IMA 21 (2004) 1–34] and establishes the existence of travelling-wave solutions for the system under discussion by promoting the understanding of the geometry of an appropriate phase space. To cite this article: A. Matzavinos, M.A.J. Chaplain, C. R. Biologies 327 (2004). Dans cet article, nous présentons l'analyse de la propagation d'ondes progressives dans un modèle décrivant la croissance tumorale en présence du système immunitaire. Du point de vue de la modélisation, nous étudions l'attaque des cellules tumorales par des lymphocytes cytotoxiques infiltrants (TICLs) dans une petite tumeur multicellulaire, sans nécrose et à un stade précédent l'angiogenèse (induite par la tumeur). Comme il a été démontré dans un travail antérieur, et pour un choix particulier des paramètres, le système d'équations aux dérivées partielles de réaction–diffusion–chémotaxie permet de simuler le phénomène bien connu de dormance du cancer en présentant des distributions cellulaires hétérogènes dans l'espace caractérisées par un nombre relativement faible de cellules tumorales. Ce comportement est cohérent avec plusieurs résultats immunomorphologiques. De plus, le changement de certains paramètres du modèle est suffisant pour induire des bifurcations du système, qui conduisent à une invasion tumorale sous la forme d'une onde progressive