Testing multivariate uniformity: The distance-to-boundary method

Given a random sample taken on a compact domain${\cal S}\subset {\Bbb R}^{d}$, the authors propose a new method for testing the hypothesis of uniformity of the underlying distribution. The test statistic is based on the distance of every observation to the boundary of S. The proposed test has a number of interesting properties. In particular, it is feasible and particularly suitable for high dimensional data; it is distribution free for a wide range of choices of S; it can be adapted to the case that the support of S is unknown; and it also allows for one-sided versions. Moreover, the results suggest that, in some cases, this procedure does not suffer from the well-known curse of dimensionality. The authors study the properties of this test from both a theoretical and practical point of view. In particular, an extensive Monte Carlo simulation study allows them to compare their methods with some alternative procedures. They conclude that the proposed test provides quite a satisfactory balance between power, computational simplicity, and adaptability to different dimensions and supports. /// Étant donné un échantillon aléatoire provenant d'un domaine compact${\cal S}\subset {\Bbb R}^{d}$, les auteurs proposent une nouvelle façon de tester l'hypothèse d'équidistribution de la loi sous-jacente. Le test est fondé sur la distance entre chacune des observations et la frontière de S. La procédure possède plusieurs propriétés intéressantes. Elle est notamment applicable et bien adaptée aux espaces de grande dimension; sa loi est la même pour un grand nombre de choix de S; elle peut être adaptée au cas où le support de S est inconnu; et elle permet de tester des hypothèses unilatérales. Il appert de plus que, dans certains cas du moins, la procédure ne souffre pas du célèbre "fléau de la dimension." Les auteurs examinent les propriétés du test, tant du point de vue théorique que pratique. En particulier, une étude de Monte-Carlo de bonne envergure leur permet de comparer leurs méthodes à quelques techniques concurrentes. Ils concluent que le test proposé présente un bon mélange de puissance, de simplicité de calcul et d'adaptabilité à divers choix de support et de dimension.