Existence of a directional Stokes drift in asymmetrical three-dimensional travelling gravity waves

We consider periodic travelling gravity waves at the surface of an infinitely deep perfect fluid. The pattern is non-symmetric with respect to the propagation direction of the waves and we consider a general non-resonant situation. Defining a couple of amplitudes ε 1 , ε 2 along the basis of wave vectors which satisfy the dispersion relation, following Iooss and Plotnikov (2009), travelling waves exist with an asymptotic expansion in powers of ε 1 , ε 2 , for nearly all pair of angles made by the basic wave vectors with the critical propagation direction, and for values of the couple ( ε 1 2 , ε 2 2 ) in a subset of the plane, with asymptotic full measure at the origin. We prove the remarkable property that on the free surface, observed in the moving frame, the propagation direction of the waves differs from the asymptotic direction taken by fluid particles, by a small angle which is computed. To cite this article: G. Iooss, P. Plotnikov, C. R. Mecanique 337 (2009). On considère les vagues périodiques à la surface d'une couche de fluide parfait, de profondeur infinie, soumise à la seule gravité. Le réseau bidimensionnel des périodes est pris non symétrique par rapport à la direction de propagation et on suppose ne pas être dans un cas résonant. On définit le couple d'amplitudes ε 1 , ε 2 le long des deux vecteurs d'onde de base qui vérifient l'équation de dispersion. D'après Iooss et Plotnikov (2009), les vagues asymétriques existent et possèdent un développement asymptotique en puissances de ( ε 1 , ε 2 ) , pour presque tous les angles faits par les vecteurs d'onde de base avec la direction critique de propagation, et pour des valeurs de ( ε 1 2 , ε 2 2 ) dans un sous-ensemble du quadrant ayant une mesure asymptotiquement pleine à l'origine. Nous montrons la propriété remarquable dans le référentiel relatif, qu'à la surface libre, la direction de propagation des ondes diffère de la direction asymptotique prise par les trajectoires des particules de fluide, d'un petit angle qu'on calcule. Pour citer cet article : G. Iooss, P. Plotnikov, C. R. Mecanique 337 (2009).