Volume-convergent sequences of Haken 3-manifolds

Let M be a closed orientable 3-manifold and let Vol( M) denote its Gromov simplicial volume. This paper is devoted to the study of sequences of non-zero degree maps f i :M→N i to Haken manifolds. We prove that any sequence of Haken manifolds ( N i , f i ), satisfying lim i→∞ deg( f i )×Vol( N i )=Vol( M) is finite up to homeomorphism. As an application, we deduce from this fact that any closed orientable 3-manifold with zero Gromov simplicial volume and in particular any graph manifold dominates at most finitely many Haken 3-manifolds. To cite this article: P. Derbez, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003). Soit M une 3-variété close orientable et désignons par Vol( M) le volume simplicial de Gromov de M. Cette Note est consacrée à l'étude des applications de degré non-nul f i :M→N i où chaque N i est une variété Haken. Le résultat principal affirme que toute suite ( N i , f i ) de variétés Haken satisfaisant lim i→∞ deg( f i )×Vol( N i )=Vol( M) est finie, à homéomorphisme près. Ce résultat implique en particulier que toute 3-variété close orientable dont le volume simplicial de Gromov est nul (en particulier toute variété graphée) domine au plus un nombre fini de variétés Haken. Pour citer cet article : P. Derbez, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003).