Asymptotic profiles of solutions to convection–diffusion equations

The large time behavior of zero-mass solutions to the Cauchy problem for the convection–diffusion equation u t−u xx+(|u| q) x=0, u(x,0)=u 0(x) is studied when q>1 and the initial datum u 0 belongs to L 1( R,(1+|x|) dx) and satisfies ∫ R u 0(x) dx=0 . We provide conditions on the size and shape of the initial datum u 0 as well as on the exponent q>1 such that the large time asymptotics of solutions is given either by the derivative of the Gauss–Weierstrass kernel, or by a self-similar solution of the equation, or by hyperbolic N-waves. To cite this article: S. Benachour et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 338 (2004). Le comportement asymptotique des solutions de masse nulle du problème de Cauchy pour l'équation de convection–diffusion u t−u xx+(|u| q) x=0, u(x,0)=u 0(x) est étudié lorsque q>1 et la donnée initiale u 0 appartient à L 1( R,(1+|x|) dx) et satisfait ∫ R u 0(x) dx=0 . Nous donnons des conditions sur l'amplitude et la forme de la donnée initiale u 0 et sur l'exposant q>1 sous lesquelles le comportement asymptotique des solutions est décrit par la dérivée première du noyau de Gauss–Weierstrass, ou par une solution auto-similaire de l'équation, ou par une N-onde hyperbolique. Pour citer cet article : S. Benachour et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 338 (2004).