Rank, term rank and chromatic number of a graph

Let G be a graph with a nonempty edge set, we denote the rank of the adjacency matrix of G and the term rank of G, by rk ( G ) and Rk ( G ) , respectively. It was conjectured [C. van Nuffelen, Amer. Math. Monthly 83 (1976) 265–266], for any graph G, χ ( G ) ⩽ rk ( G ) . The first counterexample to this conjecture was obtained by Alon and Seymour [J. Graph Theor. 13 (1989) 523–525]. Recently, Fishkind and Kotlov [Discrete Math. 250 (2002) 253–257] have proved that for any graph G, χ ( G ) ⩽ Rk ( G ) . In this Note we improve Fishkind–Kotlov upper bound and show that χ ( G ) ⩽ rk ( G ) + Rk ( G ) 2 . To cite this article: S. Akbari, H.-R. Fanaï, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005). Soit G un graphe avec un ensemble d'arête non vide. On note rk ( G ) le rang (réel) d'une matrice d'adjacence A de G et Rk ( G ) le rang maximal d'une matrice ayant même support que A. Il a été conjecturé [C. van Nuffelen, Amer. Math. Monthly 83 (1976) 265–266] que pour tout graphe G, χ ( G ) ⩽ rk ( G ) . Le premier contre-exemple à cette conjecture a été obtenu par Alon et Seymour [J. Graph Theor. 13 (1989) 523–525]. Récemment, Fishkind et Kotlov [Discrete Math. 250 (2002) 253–257] ont montré que pour tout graphe G, χ ( G ) ⩽ Rk ( G ) . Dans cette Note, nous améliorons cette borne et montrons χ ( G ) ⩽ rk ( G ) + Rk ( G ) 2 . Pour citer cet article : S. Akbari, H.-R. Fanaï, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005).