On the discrete Gabor transform and the discrete Zak transform

Gabor's expansion of a discrete-time signal into a set of shifted and modulated versions of an elementary signal (or synthesis window) and the inverse operation — the Gabor transform — with which Gabor's expansion coefficients can be determined, are introduced. It is shown how, in the case of a finite-support analysis window and with the help of an overlap-add technique, the discrete Gabor transform can be used to determine Gabor's expansion coefficients for a signal whose support is not finite. The discrete Zak transform is introduced and it is shown how this transform, together with the discrete Fourier transform, can be used to represent the discrete Gabor transform and the discrete Gabor expansion in sum-of-products forms. It is shown how the sum-of-products form of the Gabor transform enables us to determine Gabor's expansion coefficients in a different way, in which fast algorithms can be applied. Using the sum-of-products forms, a relationship between the analysis window and the synthesis window is derived. It is shown how this relationship enables us to determine the optimum synthesis window in the sense that it has minimum L 2 norm, and it is shown that this optimum synthesis window resembles best the analysis window. Es werden die Gabor-Entwicklung eines zeitdiskreten Signals nach verschobenen und modulierten Versionen eines Elementarsignals (oder Synthesefensters) sowie die inverse Operation — die Gabor-Transformation — die die Berechnung der Gabor-Entwicklungskoeffizienten erlaubt, eingeführt. Wir zeigen, wie für ein Analysefenster endlicher Länge und mit Hilfe einer Overlap-Add-Methode die diskrete Gabor-Transformation verwendet werden kann, um die Gabor-Entwick-lungskoeffizienten eines Signals unendlicher Länge zu berechnen. Wir führen die diskrete Zak-Transformation ein und zeigen, wie sie zusammen mit der diskreten Fourier-Transformation verwendet werden kann, um die diskrete Gabor-Transformation und die diskrete Gabor-Entwicklung in Summe-von-Produkten-Form darzustellen. Wir zeigen, wie die Summe-von-Produkten-Form der Gabor-Transformation es erlaubt, die Gabor-Entwicklungskoeffizienten auf andere Art zu berechnen, wobei schnelle Algorithmen verwendet werden können. Mit Hilfe der Summe-von-Produkten-Form wird eine Beziehung zwischen Analysefenster und Synthesefenster abgeleitet. Wir zeigen, wie diese Beziehung verwendet werden kann, um das im Sinne minimaler L 2 -Norm optimale Synthesefenster zu berechnen. Wir zeigen weiters, daβ dieses op