Root properties of morphological filters

The characterization of the root signal sets of the most common digital morphological filters is presented in this paper. This has proven very crucial in understandinng the utility and usefulness of these nonlinear operators. Important deterministic properties of root signals of morphological opening, closing, open-closing and clos-opening are derived leading to a complete characterization of output signals. Recall that the output signals of these morphological filters are root signals since the filters are idempotent. A system of difference equations is then derived to compute the number of root signals for these morphological filters by a structuring element of width k and for signals of length n with m quantization levels. The derivation is based on the state description for these root signals. Simplified recursive equations have been obtained for binary root signals. An application example where the root signals are used in block truncation coding (BTC) for image compression is discussed. In dieser Arbeit wird eine Charakterisierung von Root Signal Sets von sehr allgemeinen morphologischen Filtern gegeben. Dieses hat sich als sehr hilfreich für das Verstehen der Eigenschaften und Brauchbarkeit dieser nichtlinearen Operatoren herausgestellt. Wichtige deterministische Eigenschaften der Root-Signale von morphologischem Opening, Closing, Open-Closing und Clos-Opening werden entwickelt, was zu einer kompletten Charakterisierung der Ausgangssignale führt. Man muß sich in Erinnerung rufen, daß die Ausgangssignale der morphologischen Filter Root-Signale sind, da diese Filter idempotent sind. Es wird dann ein System von Differenzen-gleichungen hergeleitet, um die Anzahl von Root-Signalen für diese morphologischen Filter zu berechnen durch Strukturelemente der Breite k und für Signale der Länge n mit m Quantisierungsstufen. Diese Herleitung basiert auf der Zustandsbeschreibung deiser Root-Signale. Man erhält vereinfachte rekursive Gleichungen für binäre Root-signale. Er wird ein Anwendungsbeispiel diskutiert, in dem Root-Signale zum Block-Truncation Coding (BTC) benutzt werden. La caractérisation des ensembles de signaux de base de la plupart des filtres morphologiques et digitals est présentée dans cet article. Le caractère crucial de la compréhension de l'utilité et de la fonctionnalité de ces opérateurs non linéaires a été prouvé. D'importantes propriétés déterministes des signaux de base d'ouverture, de fermeture, d'ouverture-fermeture et de fermeture-ouvert