Decomposition of mappings between complete lattices by mathematical morphology, Part I. General lattices

Two canonical decompositions of mappings between complete lattices are presented. These decompositions are based on the mathematical morphology elementary mappings: erosions, anti-erosions, dilations and anti-dilations. The proposed decompositions are obtained by introducing the concept of morphological connection, that extends the notion of Galois connection. The definitions of sup-generating mapping, kernel and basis within the framework of complete lattices are given. The decompositions are built by analysing the kernel and may be simplified from the basis. The results are specialized to the cases of inf-separable, increasing and decreasing mappings. The presented decompositions are dual. Some examples, including the case of boolean functions simplification, illustrate the key concepts and the decomposition rule. Deux décompositions canoniques d'applications entre treillis complets sont présentées. Ces décompositions sont fondées sur les applications élémentaires de la morphologie mathématique: érosions, anti-érosions, dilatations et anti-dilatations. Les décompositions proposées sont obtenues au moyen de l'introduction du concept de connexion morphologique, qui étend celui de connexion de Galois. Les définitions d'application sup-génératrice, noyau et base dans le cadre des treillis sont données. Les décompositions sont construites en analysant le noyau et peuvent être simplifiées à partir de la base. Les résultats sont spécialisés aux cas des applications inf-séparables, croissantes et décroissantes. Les décompositions présentées sont duales. Quelques exemples, incluant le cas de la simplification des functions booléennes, illustrent les concepts clefs et la régle de décomposition. Zwei kanonische Zerlegungen von Abbildungen zwischen vollständigen Gittern werden vorgestellt. Diese Zerlegungen beruhen auf mathematisch-morphologisch elementaren Abbildungen: Erosionen, Anti-Erosionen, Dilationen und Anti-Dilationen. Die vorgeschlagenen Zerlegungen erhält man durch die Einführung des Konzepts der morphologischen Verbindung, einer Erweiterung des Begriffs der Galois-Verbindung. Die Definitionen einer unter-generierenden Abbildung, eines Kerns und einer Basis innerhalb des Gesamt-Rahmens vollständiger Gitter werden angegeben. Die Zerlegungen werden aufgebaut, indem der Kern analysiert wird, und sie können von der Basis her vereinfacht werden. Die Ergebnisse werden auf den Fall inf-separierbarer, anwachsender und abfallender Abbildungen spezialisiert. Die vo