A new type of non-linear approximation with application to the duffing equation

A new type of trial solution which differs from the usual linear combination of approximating functions is considered. It involves modifying the approximating functions with “form functions;” functions containing undetermined parameters appearing non-linearly, the proper choice of which provide a closer approximation to the large local curvatures which appear in some non-linear problems. In this paper the “form function” approximation is demonstrated for steady-state solutions of the Duffing equation. This equation arises in the problem of non-linear vibration of buckled beams and plates. It is shown that the stability behavior of these steady-state solutions is governed by a Hill equation. It is found that the “form function” approximation gives noticeably better numerical results than, for example, those given by the harmonic balance method. The method also provides additional insight into the non-linear behavior, particularly in the low frequency response region. On considère un nouveau type de solution d'essai qui diffère de la combinaison linéaire habituelle de fonctions d'approximation.Il nécessite de modifier les fonctions d'approximation avec des “fonctions de forme”: fonctions contenant des paramétres indéterminés apparaissant non linéairement, un bon choix de ces fonctions fournit une approximation plus fine des importantes courbures locales qui apparaissent dans certains problemes non linéaires. Dans cet article on montre l'approximation de la “fonction de forme” pour des solutions en régime permanent de l'équation de Duffing. Cette équation apparaît dans le problème de vibrations non linéaires de poutres et de plaques après flambage. On montre que le comportement en stabilité de ces solutions en régime permanent est régi par une équation de Hill. On trouve que l'approximation de la “fonction de forme” donne des résultats numériques notablement meilleurs que. par exemple, ceux donnés par la méthode de balance harmonique. La méthode fournit également des indications supplémentaires sur le comportement non linéaire, particulièrement dans la région des réponses à hasse fréquence. Eine neue Art von Versuchslösungen wird untersucht, die sich von den üblichen Linearkombinationen von Annöhcrungslunktionen unterscheiden. Das Verfahren beinhaltet die Abänderung der Annäherungsfunktionen durch “Formfunktinen”. die nichtlinear auftretende unbestimmte Parameter enthalten. Die richtige Wahl dieser Parameter ergibt eine bessere Annäherung für die grossen örtl