Constrained penalized splines

The penalized spline is a popular method for function estimation when the assumption of "smoothness" is valid. In this paper, methods for estimation and inference are proposed using penalized splines under additional constraints of shape, such as monotonicity or convexity. The constrained penalized spline estimator is shown to have the same convergence rates as the corresponding unconstrained penalized spline, although in practice the squared error loss is typically smaller for the constrained versions. The penalty parameter may be chosen with generalized cross-validation, which also provides a method for determining if the shape restrictions hold. The method is not a formal hypothesis test, but is shown to have nice large-sample properties, and simulations show that it compares well with existing tests for monotonicity. Extensions to the partial linear model, the generalized regression model, and the varying coefficient model are given, and examples demonstrate the utility of the methods. Les splines pénalisées sont une méthode populaire en estimation fonctionnelle lorsque l'hypothèse de régularité est valide. Dans cet article, nous proposons des méthodes pour faire de l'estimation et de l'inference en utilisant les splines pénalisées sous des contraintes de forme supplémentaires telles que la monotonicité ou la convexité. Nous montrons que l'estimateur basé sur des splines pénalisées contraintes a le même taux de convergence que celui basé sur les splines pénalisées non contraintes quoique, en pratique, la perte quadratique est habituellement inférieure pour les versions contraintes. Le paramètre de pénalité peut être choisi à l'aide de la validation croisée généralisée ce qui donne aussi une méthode pour déterminer si les contraintes de forme sont respectées. La méthode n'est pas un test d'hypothèses proprement dit, mais elle a de bonnes propriétés asymptotiques. Des simulations montrent aussi qu'elle se compare avantageusement aux tests de monotonicité déjà existants. Des généralisations aux modèles linéaires partiels, au modèle de régression généralisé ainsi qu'à celui des coefficients variables sont fournies et des exemples illustrent l'utilité de ces méthodes.