Conceptual change in mathematics: From rational to (un)real numbers

From an educational point of view, mathematics is supposed to have a completely hierarchical structure in which all new concepts logically follow from prior ones. In this article we try to show that there are also concepts in mathematics which are difficult to learn because of problematic continuity from prior knowledge to new concepts. We focus on the problems of conceptual change connected with the learning of calculus and the shift from rational to real numbers. We demonstrate the difficulty of this conceptual change with the help of historical and psychological evidence. In the empirical study 65 students of higher secondary school were tested after a 40 hour calculus course. In addition, 11 students participated in individual interview. According to the results the conceptual change from a discrete to a continuous idea of numbers seems to be difficult for students. None of the subjects had developed an adequate understanding of real numbers although they had learned to carry out algorithmic procedures belonging to calculus. We discuss how appropriate recent theoretical ideas on conceptual change are for explaining learning problems in this domain. Also some educational implications are presented. D'un poit de vue pédagogique, les mathématiques sont présentées comme structurées de façon hiérarchique, chaque nouveau concept dérivant logiquement de concepts antérieurement formés. Dans cet article, on essaie de montrer qu'il y a aussi en mathématiques des concepts difficiles à apprendre pour cause de discontinuité entre ces concepts et les connaissances antérieures. On aborde ici le problème du changement conceptuel que pose l'apprentissage du calcul numérique quand on passe des rationnels aux réels. Les preuves des difficultés conceptuelles rencontrées lors de ce passage ne manquent d'ailleurs pas, tant au plan historique que psychologique. Dans la recherche présentée, 65 élèves en fin d'études secondaires furent interrogés après un cours de calcul d'une durée de 40 heures. Onze de ces élèves firent l'objet d'un entretien. Les résultats montrent que le passage conceptuel des nombres comme entités discrètes aux nombres comme entités continues semble être difficile pour les élèves. Aucun élève ne fit état d'une compréhension correcte des nombres réels, alors que tous les élèves savaient utiliser des procédures algorythmiques de calcul sur nombres. La discussion porte sur l'intérêt des théories récentes sur le changement conceptuel pour interpréter les prob