Continuous threshold models with two-way interactions in survival analysis

Proportional hazards model with the biomarker–treatment interaction plays an important role in the survival analysis of the subset treatment effect. A threshold parameter for a continuous biomarker variable defines the subset of patients who can benefit or lose from a certain new treatment. In this article, we focus on a continuous threshold effect using the rectified linear unit and propose a gradient descent method to obtain the maximum likelihood estimation of the regression coefficients and the threshold parameter simultaneously. Under certain regularity conditions, we prove the consistency, asymptotic normality and provide a robust estimate of the covariance matrix when the model is misspecified. To illustrate the finite sample properties of the proposed methods, we simulate data to evaluate the empirical biases, the standard errors and the coverage probabilities for both the correctly specified models and misspecified models. The proposed continuous threshold model is applied to a prostate cancer data with serum prostatic acid phosphatase as a biomarker. Le modèle à risques proportionnels pourvu d’un terme d’interaction entre les biomarqueurs et les traitements joue un rôle important dans l’analyse de survie pour obtenir l’effet du traitement pour des sous-groupes. Un paramètre établit un seuil sur la valeur continue d’un biomarqueur qui définit les sous-groupes qui pourront bénéficier ou pâtir d’un certain nouveau traitement. Les auteurs s’attardent à l’effet d’un seuil continu en utilisant les unités linéaires rectifiées (ReLU). Ils proposent une méthode de descente du gradient afin d’obtenir l’estimateur au maximum de vraisemblance des coefficients de régression et des paramètres de seuil simultanément. Sous certaines conditions de régularité, les auteurs prouvent la convergence et la normalité asymptotique de leurs estimés. Ils fournissent également un estimé robuste de la matrice de covariance lorsque le modèle est mal spécifié. Pour illustrer les propriétés de leurs méthodes sur des échantillons finis, ils simulent des données afin d’évaluer le biais empirique, les erreurs-types et les probabilités de couverture pour des modèles correctement et incorrectement spécifiés. Ils illustrent finalement leur modèle à seuil continu avec des données sur le cancer de la prostate où le sérum de phosphatase prostatique acide est utilisé comme biomarqueur.