On the use of priors in goodness-of-fit tests

Priors are introduced into goodness-of-fit tests, both for unknown parameters in the tested distribution and on the alternative density. Neyman–Pearson theory leads to the test with the highest expected power. To make the test practical, we seek priors that make it likely a priori that the power will be larger than the level of the test but not too close to one. As a result, priors are sample size dependent. We explore this procedure in particular for priors that are defined via a Gaussian process approximation for the logarithm of the alternative density. In the case of testing for the uniform distribution, we show that the optimal test is of the U-statistic type and establish limiting distributions for the optimal test statistic, both under the null hypothesis and averaged over the alternative hypotheses. The optimal test statistic is shown to be of the Cramér–von Mises type for specific choices of the Gaussian process involved. The methodology when parameters in the tested distribution are unknown is discussed and illustrated in the case of testing for the von Mises distribution. Les auteurs introduisent des lois a priori pour les paramètres inconnus des distributions de l’hypothèse nulle et de la contre-hypothèse de tests d’adéquation. La théorie de Neyman-Pearson mène au test ayant la puissance espérée maximale. Pour rendre ce test applicable en pratique, les auteurs cherchent à rendre probable, a priori, que la puissance du test excédera son seuil, sans toutefois être trop près de un, ce qui conduit à des lois a priori qui dépendent de la taille d’échantillon. Les auteurs examinent cette procédure notamment lorsque les lois a priori sont définies à l’aide de l’approximation d’un processus gaussien pour le logarithme de la densité sous la contre-hypothèse. Dans le cas d’un test pour la distribution uniforme, les auteurs montrent que le test optimal est de type U-statistique, et ils établissent la distribution asymptotique pour la statistique de test optimale, que ce soit sous l’hypothèse nulle, ou sous un mélange pondéré des contre-hypothèses. Les auteurs montrent que la statistique de test optimale est de type Cramér-von Mises pour des choix spécifiques de processus gaussiens. Ils discutent de la méthodologie lorsque les paramètres à tester sont inconnus et l’illustrent en testant l’adéquation de la distribution de von Mises.