Weak type commutator and Lipschitz estimates: resolution of the Nazarov-Peller conjecture

Let $\mathcal{M}$ be a semi-finite von Neumann algebra and let $f:{\Bbb R}\rightarrow{\Bbb C}$ be a Lipschitz function. If $A,B\in\mathcal{M}$ are self-adjoint operators such that $[A,B]\in L_1(\mathcal{M})$, then$$\big\|[f(A),B]\big\|_{1,\infty}\leq c_{abs}\|f^\prime\|_{\infty}\big\|[A,B]\big\|_1,$...

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Veröffentlicht in:American journal of mathematics 2019-06, Vol.141 (3), p.593-610
Hauptverfasser: Caspers, M, Potapov, D, Sukochev, F, Zanin, D
Format: Artikel
Sprache:eng
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Beschreibung
Zusammenfassung:Let $\mathcal{M}$ be a semi-finite von Neumann algebra and let $f:{\Bbb R}\rightarrow{\Bbb C}$ be a Lipschitz function. If $A,B\in\mathcal{M}$ are self-adjoint operators such that $[A,B]\in L_1(\mathcal{M})$, then$$\big\|[f(A),B]\big\|_{1,\infty}\leq c_{abs}\|f^\prime\|_{\infty}\big\|[A,B]\big\|_1,$$where $c_{abs}$ is an absolute constant independent of $f$, $\mathcal{M}$ and $A,B$ and $\|\cdot\|_{1,\infty}$ denotes the weak $L_1$-norm. If $X,Y\in\mathcal{M}$ are self-adjoint operators such that $X-Y\in L_1(\mathcal{M})$, then$$\big\|f(X)-f(Y)\big\|_{1,\infty}\leq c_{abs}\|f^\prime\|_{\infty}\|X-Y\|_1.$$This result resolves a conjecture raised by F. Nazarov and V. Peller implying a couple of existing results in perturbation theory.
ISSN:0002-9327
1080-6377
1080-6377
DOI:10.1353/ajm.2019.0019