Angular Momenta

Q36(1) The spherical harmonics Y 1,1(θ, φ), Y 1,0(θ, φ), Y 1,−1(θ, φ) are given by Eqs. (16.65) to (16.67). In Cartesian coordinates, these functions are given by 1 Y 1 , − 1 ( x , y , z ) = 3 8 π x − i y r , Y 1 , 0 ( x , y , z ) = 3 4 π z r , Y 1 , 1 ( x , y , z ) = − 3 8 π x + i y r . (a) Using the expression in Cartesian coordinates for the quantised orbital angular momentum operator L ^ c z in Eq. (27.86), verify by explicit calculations that Y 1,1(x, y, z), Y 1,0(x, y, z)and Y 1,-1(x, y, z) are the eigenfunctions of L ^ c z corresponding to eigenvalues ħ, 0 and –ħ. (b) Consider the following coordinate transformations: x → z ′ , y → x ′ , z → y ′ . (1) 202Show that the component of the orbital angular momentum operator along the z′-direction is the same as that along the x-direction, i.e., show that L ^ c z ′ = L ^ c z . (2) Show that the simultaneous eigenfunctions of L ^ c 2 and L ^ c x corresponding to eigenvalues of L ^ c 2 equal to 2ħ 2are given in Cartesian coordinates by X 1 , − 1 ( x , y , z ) = 3 8 π y − i z r , X 1 , 0 ( x , y , z ) = 3 4 π x r , X 1 , 1 ( x , y , z ) = − 3 8 π y + i z r . SQ36(1)(a) In Cartesian coordinates we have 2 : p ^ x Y → 1 , − 1 : = − i ℏ 3 8 π ∂ ∂ x x − i y r = − i ℏ 3 8 π ( 1 r − x − i y r 2 ∂ ∂ x r ) = − i ℏ 3 8 π ( 1 r − x − i y r 2 x r ) = − i ℏ 3 8 π 1 r 3 ( r 2 − x 2 + i x y ) . p ^ y Y → 1 , − 1 : = − i ℏ 3 8 π ∂ ∂ y x − i y r = − i ℏ 3 8 π ( − i r − x − i y r 2 ∂ ∂ y r ) = − i ℏ 3 8 π ( − i r − x − i y r 2 y r ) = − i ℏ 3 8 π 1 r 3 ( − i r 2 − x y + i y 2 ) . L ^ z Y → 1 , − 1 : = ( x p ^ y − y p ^ x ) Y 1 , − 1 = − i ℏ 3 8 π 1 r 3 ( ( − i x r 2 − x 2 y + i x y 2 ) − ( y r 2 − y x 2 + i x y 2 ) ) = − i ℏ 3 8 π 1 r 3 ( − i x r 2 − y r 2 ) = − ℏ 3 8 π 1 r { x − i y } = − ℏ Y 1 , − 1 . 203Next we have p ^ x Y → 1 , 0 : = − i ℏ 3 4 π ∂ ∂ x z r = − i ℏ 3 4 π ( − z r 2 ∂ ∂ x r ) = i ℏ 3 4 π z x r 3 . p ^ y Y → 1 , 0 : = − i ℏ 3 4 π ∂ ∂ y z r = − i ℏ 3 4 π ( − z r 2 ∂ ∂ y r ) = i ℏ 3 4 π z y r 3 . L ^ z Y → 1 , 0 : = ( x p ^ y − y p ^ x ) Y 1 , 0 = x ( i ℏ 3 4 π z y r 3 ) − y ( i ℏ 3 4 π z x r 3 ) = 0. Finally we have p ^ x Y → 1 , 1 : = i ℏ 3 8 π ∂ ∂ x x + i y r = − i ℏ 3 8 π ( 1 r − x + i y r 2 ∂ ∂ x r ) = i ℏ 3 8 π ( 1 r − x + i y r 2 x r ) = i ℏ 3 8 π 1 r 3 ( r 2 − x 2 − i x y ) , p ^ y Y → 1 , 1 : = i ℏ 3 8 π ∂ ∂ y x + i y r = i ℏ 3 8 π ( i r − x + i y r 2 ∂ ∂ y r ) = i ℏ 3 8 π ( i r − x + i y r 2 y r ) = i ℏ 3 8 π 1 r 3 ( i r 2 − x y − i y 2 ) , L ^ z Y → 1 , 1 : = ( x p ^ y − y p ^ x ) Y 1 , 1 = i ℏ 3 8 π