Unicité et minimalité des solutions d’une équation de Ginzburg-Landau

On étudie les solutions de l’équation −∆u + u(u2 − 1) = 0, où u est élément de Hloc1(ℝn). On montre que la solution f(x1,…,xn)=th(x12) minimise l’énergie parmi les fonctions tendant vers −1 lorsque x1 tend vers −∞ et vers +1 lorsque x1 tend vers +∞. De plus, on prouve que toute solution de l’équation qui tend vers 1 lorsque |x| tend vers +∞ est constante égale à 1 sur ℝn. We study the solutions of the equation −∆u + u(u2 − 1) = 0 where u is in Hloc1(ℝn). We prove that the map f(x1,…,xn)=th(x12) is a minimizing solution in the class of functions which converge to −1 when x1 goes to −∞ and to +1 when x1 goes to +∞. Furthermore we show that any solution of the equation which converges to 1 when |x| goes to +∞ is constant equal to 1 on ℝn.