Sur un problème de Gelfond: la somme des chiffres des nombres premiers

In this article we answer a question proposed by Gelfond in 1968. We prove that the sum of digits of prime numbers written in a basis q ≥ 2 is equidistributed in arithmetic progressions (except for some well known degenerate cases). We prove also that the sequence (αs q (p)) where p runs through the prime numbers is equidistributed modulo 1 if and only if α ∈ ℝ \ ℚ. L'objet de cet article est de répondre à une question posée par Gelfond en 1968 en montrant que la somme des chiffres s q (p) des nombres premiers p écrits en base q ≥ 2 est équirépartie dans les progressions arithmétiques (excepté pour certains cas dégénérés bien connus). Nous montrons également que la suite (αs q (p)) où p décrit l'ensemble des nombres premiers est équirépartie modulo 1 si et seulement si α ∈ ℝ \ ℚ.