Une amélioration d'un résultat de E.B. Davies et B. Simon

E.B. Davies et B. Simon ont montré (entre autres résultats) la chose suivante : soit T, une matrice n × n telle que son spectre σ ( T ) soit inclus dans le disque D = { z ∈ C : | z | < 1 } et soit C = sup n ⩾ 0 ‖ T n ‖ E → E ( E étant C n muni d'une certaine norme | . | ). Alors ‖ R ( 1 , T ) ‖ E → E ⩽ C ( 3 n / dist ( 1 , σ ( T ) ) ) 3 / 2 où R ( λ , T ) désigne la résolvante de T prise au point λ. Nous améliorons ici cette dernière inégalité à travers le résultat suivant : sous les mêmes conditions (portant sur la matrice T), pour tout λ ∉ σ ( A ) tel que | λ | ⩾ 1 , on a ‖ R ( λ , T ) ‖ ⩽ C ( 5 π / 3 + 2 2 ) n 3 / 2 / dist ( λ , σ ) . Pour citer cet article : R. Zarouf, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009). E.B. Davies and B. Simon have shown (among other things) the following result: if T is an n × n matrix such that its spectrum σ ( T ) is included in the open unit disc D = { z ∈ C : | z | < 1 } and if C = sup k ⩾ 0 ‖ T k ‖ E → E , where E stands for C n endowed with a certain norm | . | , then ‖ R ( 1 , T ) ‖ E → E ⩽ C ( 3 n / dist ( 1 , σ ( T ) ) ) 3 / 2 where R ( λ , T ) stands for the resolvent of T at point λ. Here, we improve this inequality showing that under the same hypotheses (on the matrix T), ‖ R ( λ , T ) ‖ ⩽ C ( 5 π / 3 + 2 2 ) n 3 / 2 / dist ( λ , σ ) , for all λ ∉ σ ( T ) such that | λ | ⩾ 1 . To cite this article: R. Zarouf, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).