Quasi-Monte Carlo Techniques for the Approximation of High-Dimensional Integrals (Quasi-Monte Carlo technieken voor het benaderen van integralen over hoog-dimensionale gebieden)

De waarde van hoog-dimensionale integralen wordt vaak met Monte Carlo methodes berekend. Het belangrijkste voordeel van deze methodes is dat ze niet onderhevig zijn aan de ``vloek van de dimensionaliteit''. Hun trage convergentie is echter een nadeel. In zogenaamde quasi-Monte Carlo (qMC) methodes worden de willekeurige punten vervangen door zorgvuldig gekozen deterministische punten met een meer uniforme verdeling. Voor heel wat problemen resulteert het gebruik van qMC-methodes in een snellere convergentie.Een voorbeeld van een Monte Carlo methode is het SIR-algoritme om steekproeven te genereren uit een verdeling met ongekende normalisatieconstante. In het eerste deel van deze thesis onderzoeken we de convergentie van het SIR-schema waarbij de willekeurige punten vervangen werden door qMC-punten.Vervolgens wordt ingegaan op vervormingsmethodes voor twee soorten qMC-rijen. Met behulp van vervormingsmethodes probeert men de kwaliteit van qMC-punten te verbeteren door hun individuele cijfers op een ingenieuze manier te wijzigen. Verschillende vervormingsmethodes voor de Halton en Faure rij worden computationeel onderzocht en nieuwe vervormingen worden voorgesteld.Belangrijke bijdragen worden ook geleverd op het gebied van meerdimensionale numerieke integratie gebaseerd op irrationale getallen. Zonder enige veronderstellingen te maken over de periodiciteit of het zachtverlopend karakter van een functie, worden in deze context eerst Sobol'-rijen vergeleken met rijen gebaseerd op irrationale getallen. Daarna worden voor een welbepaalde klasse van zachtverlopende, periodieke functies open integratiealgoritmes opgesteld. De algoritmes hebben een tweede en derde orde foutenconvergentie. Tenslotte wordt de aanpak veralgemeend en worden algoritmes met een qde orde foutenconvergentie bekomen, waarbij q afhangt van het zachtverlopend karakter van de functie.We eindigen met een korte bespreking van de software die tijdens dit onderzoek werd ontwikkeld.