Étude du graphe divisoriel 5

Le graphe divisoriel est le graphe non orienté dont les sommets sont les entiers strictement positifs et deux entiers sont reliés par une arête quand le petit divise le grand. On appelle chaîne de longueur ℓ toute suite finie d’entiers strictement positifs a₁, a₂, …, aℓ deux à deux distincts tels que pour tout i vérifiant 1 ≤ i < ℓ, a i et a i+1 sont reliés par une arête du graphe divisoriel. Notons f(x) la longueur maximum d’une chaîne de la restriction du graphe divisoriel aux entiers inférieurs ou égaux à x. Tenenbaum a donné un procédé constructif, directement transposable sous forme d’algorithme, qui établit l’existence d’une chaîne d’entiers ≤ x dont on sait maintenant qu’il fournit la minoration f (x) ≥ (c+o(1))x/logx avec c = 0, 07 quand x → +∞. On donne ici une variante de son procédé constructif qui permet d’obtenir c = 0, 37 pour la même minoration. On profite de l’occasion pour faire une large part aux mathématiques expérimentales. Par ailleurs, on donne également une minoration d’une variante de la fonction f (x), qui permettra de répondre à une question d’Erdős dans un travail ultérieur. The divisor graph is the non oriented graph whose vertices are the positive integers, two vertices being connected by an edge when the smallest one divides the largest one. We call chain of length ℓ any finite sequence of pairwise distinct positive integers a₁, a₂, …, a ℓ , such that, for 1 ≤ i