Coarse-scale representations and smoothed Wigner transforms

Smoothed Wigner transforms have been used in signal processing, as a regularized version of the Wigner transform, and have been proposed as an alternative to it in the homogenization and/or semiclassical limits of wave equations. We derive explicit, closed formulations for the coarse-scale representation of the action of pseudodifferential operators. The resulting “smoothed operators” are in general of infinite order. The formulation of an appropriate framework, resembling the Gelfand–Shilov spaces, is necessary. Similarly we treat the “smoothed Wigner calculus”. In particular this allows us to reformulate any linear equation, as well as certain nonlinear ones (e.g., Hartree and cubic nonlinear Schrödinger), as coarse-scale phase-space equations (e.g., smoothed Vlasov), with spatial and spectral resolutions controlled by two free parameters. Finally, it is seen that the smoothed Wigner calculus can be approximated, uniformly on phase-space, by differential operators in the semiclassical regime. This improves the respective weak-topology approximation result for the Wigner calculus. La transformée de Wigner lissée a été utilisée en théorie du signal, comme régularisation de la fonction de Wigner, et a été proposée comme une de ses alternatives pour l'homogénéisation et/ou à la limite semiclassique de l'équation des ondes. Dans cet article nous dérivons des expressions fermées et explicites de la représentation lissée de l'action d'opérateurs pseudodifférentiels. Les « popérateurs lissés » obtenus sont en général d'ordre infini. Un cadre adapté, semblable aux espaces de Guelfand–Chilov, est nécessaire. De la même façon nous traitons le « calcul de Wigner lissé ». Cela nous permet, en particulier, de reformuler toute équation linéaire, ainsi que certaines équations non-linéaires (par ex., Hartree et Schrödinger non-linéaire cubique), comme équation sur l'espace de phases (par ex., Vlasov lissée), dont on contrôle la résolution spectrale et spatiale grâce à deux paramètres. Nous montrons enfin que le calcul de Wigner lissé peut être approché dans le régime semiclassique, uniformément sur l'espace de phases, par des opérateurs différentiels, ce qui améliore l'approximation, en topologie faible, du calcul de Wigner standard.