When the Allee threshold is an evolutionary trait: Persistence vs. extinction

We consider a nonlocal parabolic equation describing the dynamics of a population structured by a spatial position and a phenotypic trait, submitted to dispersion, mutations and growth. The growth term may be of the Fisher-KPP type but may also be subject to an Allee effect which can be weak (non-KPP monostable nonlinearity, possibly degenerate) or strong (bistable nonlinearity). The type of growth depends on the value of a variable θ: the Allee threshold, which is considered here as an evolutionary trait. After proving the well-posedness of the Cauchy problem, we study the long time behavior of the solutions. Due to the richness of the model and the interplay between the various phenomena and the nonlocality of the growth term, the outcomes (extinction vs. persistence) are various and in sharp contrast with earlier results of the existing literature on local reaction-diffusion equations. On considère une équation parabolique non locale décrivant la dynamique d'une population structurée par une position spatiale et un trait phénotypique, soumise à la dispersion, à la mutation et à la croissance. La croissance peut être de type Fisher-KPP mais peut également être soumise à un effet Allee faible (non-linéarité monostable non-KPP, éventuellement dégénérée) ou fort (non-linéarité bistable). Le type de croissance dépend de la valeur d'une variable θ, le seuil de l'effet Allee, qui est ici considéré comme un trait évolutif. Après avoir prouvé le caractère bien posé du problème de Cauchy, on étudie le comportement des solutions en temps grand. En raison de la richesse du modèle, de l'interaction entre les différents phénomènes et de la non-localité du terme de croissance, les résultats (extinction vs. persistance) sont variés et diffèrent fortement des conclusions antérieures dans la littérature sur les équations de réaction-diffusion locales.