Compactness of trajectories to some nonlinear second order evolution equations and applications

Under suitable growth and coercivity conditions on the nonlinear damping operator g, we establish boundedness or compactness properties of trajectories to the equationu¨(t)+g(u˙(t))+Au(t)=h(t),t∈R+, where A is a positive selfadjoint operator. The compactness results are used to prove the existence of almost periodic solutions when h is almost periodic, and to generalize some recent results of Chergui and Ben Hassen–Chergui concerning convergence to equilibrium when a nonlinear term depending on u is added and h dies off sufficiently fast for t large. Sous des conditions de croissance et de coercivité sur lʼopérateur de dissipation g, on établit des propriétés de bornage et de compacité des trajectoires de lʼéquationu¨(t)+g(u˙(t))+Au(t)=h(t),t∈R+, où A est un opérateur auto-adjoint positif. Les résultats de compacités sont utilisés pour construire des solutions presque périodiques si h est presque périodique, et pour généraliser des resultats de Chergui et Ben Hassen–Chergui sur la convergence vers lʼéquilibre en présence dʼune non-linéarité portant sur u, lorsque h tend vers 0 assez vite pour t grand.