Stability of critical shapes for the drag minimization problem in Stokes flow

We study the stability of some critical (or equilibrium) shapes in the minimization problem of the energy dissipated by a fluid (i.e. the drag minimization problem) governed by the Stokes equations. We first compute the shape derivative up to the second order, then provide a sufficient condition for the shape Hessian of the energy functional to be coercive at a critical shape. Under this condition, the existence of such a local strict minimum is then proved using a precise upper bound for the variations of the second order shape derivative of the functional with respect to the coercivity and differentiability norms. Finally, for smooth domains, a lower bound of the variations of the drag is obtained in terms of the measure of the symmetric difference of domains. On étudie la stabilité des formes critiques pour le problème de minimisation par rapport à la forme lʼénergie dissipée par un fluide régi par les équations de Stokes stationnaires. On commence par calculer les dérivées de forme de cette fonctionnelle jusquʼà lʼordre deux. On donne ensuite une condition suffisante de coercivité pour la hessienne de forme au niveau dʼun domaine critique. Sous cette condition, on montre quʼune telle forme critique est un point de minimum strict local de la fonctionnelle en estimant soigneusement les variations de la dérivée seconde en fonction des normes de différentiabilité et de coercivité. Enfin, pour des domaines réguliers, on établit une minoration des variations de la fonctionnelle en termes de la mesure de la différence symétrique des domaines.