Asymptotic behaviour of self-contracted planar curves and gradient orbits of convex functions

We hereby introduce and study the notion of self-contracted curves, which encompasses orbits of gradient systems of convex and quasiconvex functions. Our main result shows that bounded self-contracted planar curves have a finite length. We also give an example of a convex function defined in the plane whose gradient orbits spiral infinitely many times around the unique minimizer of the function. Nous introduisons et étudions la notion de courbes auto-contractées, qui englobe les orbites des systèmes de gradient des fonctions convexes et quasi-convexes. Notre résultat principal montre que toute courbe plane auto-contractée bornée est de longueur finie. Nous donnons aussi un exemple de fonction convexe définie sur le plan dont les orbites de gradient s'enroulent en spirale une infinité de fois autour de l'unique minimum de la fonction.