Baxter permutations

Chung et al. (1978) have proved that the number of Baxter permutations on [ n] is ∑ r = 0 n − 1 ( n + 1 r ) ( n + 1 r + 1 ) ( n + 1 r + 2 ) ( n + 1 1 ) ( n + 1 2 ) Viennot (1981) has then given a combinatorial proof of this formula, showing this sum corresponds to the distribution of these permutations according to their number of rises. Cori et al. (1986), by making a correspondence between two families of planar maps, have shown that the number of alternating Baxter permutations on [2 n+δ] is c n+δc n where c n = (2 n)!/( n + 1)! n! is the nth Catalan number. In this paper, we establish a new one-to-one correspondence between Baxter permutations and three non-intersecting paths, which unifies Viennot (1981) and Cori et al. (1986). Moreover, we obtain more precise results for the enumeration of (alternating or not) Baxter permutations according to various parameters. So, we give a combinatorial interpretation of Mallows's formula (1979). Chung et al. (1978) ont montré que le nombre de permutations de Baxter sur [ n] est ∑ m = 0 n − 1 ( n + 1 m ) ( n + 1 m + 1 ) ( n + 1 m + 2 ) ( n + 1 1 ) ( n + 1 2 ) Viennot (1981) a donné ensuite une preuve combinatoire de cette formule, montrant que cette somme correspondait à la distribution de ces permutations suivant leur nombre de montées. Cori et al. (1986), en mettant en correspondance deux familles de cartes planaires, ont montré que le nombre de permutations de Baxter alternantes sur [2 n + δ] est c n+δc n où c n = (2 n)!/( n + 1)! n! est le nème nombre de Catalan. Dans cet article, nous présentons une nouvelle correspondance entre permutations de Baxter et triplets de chemins deux à deux disjoints, unifiant ainsi les travaux Viennot (1981) and Cori et al. (1986). De plus, ceci nous permet d'affiner les résultats connus en obtenant des formules énumérant les permutations (alternantes ou non) de Baxter suivant plusieurs paramètres. Nous donnons ainsi une interprétation combinatoire d'une formule due à Mallows (1979).