The approximate Euler method for Lévy driven stochastic differential equations

This paper is concerned with the numerical approximation of the expected value E ( g ( X t ) ) , where g is a suitable test function and X is the solution of a stochastic differential equation driven by a Lévy process Y. More precisely we consider an Euler scheme or an “approximate” Euler scheme with stepsize 1 / n , giving rise to a simulable variable X t n , and we study the error δ n ( g ) = E ( g ( X t n ) ) − E ( g ( X t ) ) . For a genuine Euler scheme we typically get that δ n ( g ) is of order 1 / n , and we even have an expansion of this error in successive powers of 1 / n , and the assumptions are some integrability condition on the driving process and appropriate smoothness of the coefficient of the equation and of the test function g. For an approximate Euler scheme, that is we replace the non-simulable increments of X by a simulable variable close enough to the desired increment, the order of magnitude of δ n ( g ) is the supremum of 1 / N and a kind of “distance” between the increments of Y and the actually simulated variable. In this situation, a second order expansion is also available. Cet article est consacré à l'approximation numérique de l'espérance E ( g ( X t ) ) , où g est une fonction test convenable et X est la solution d'une équation différentielle stochastique dirigée par un processus de Lévy Y. Plus précisément, on considère un schéma d'Euler ou un schéma d'Euler « approximatif » de pas 1 / n , produisant une variable X t n simulable, et on étudie l'erreur δ n ( g ) = E ( g ( X t n ) ) − E ( g ( X t ) ) . Pour le schéma d'Euler classique on obtient typiquement que δ n ( g ) est d'ordre 1 / n , et on exhibe un développement de cette erreur en puissances successives de 1 / n ; les hypothèses sont d'une part une régularité suffisante de la fonction test g et des coefficients de l'équation différentielle, d'autre part l'existence de momemnts appropriés pour le processus directeur. Pour le schéma d'Euler approximatif, on remplace les accroissements de Y, en général non simulables, par des variables simulables assez proches de ces accroissements. L'ordre de grandeur de δ n ( g ) devient ainsi le maximum de 1 / N et d'une sorte de « distance » entre les accroissements de Y et les variables effectivement simulées. Dans ce cadre, nous donnons également un développement à l'ordre 2.