Methods of shape optimization in free boundary problems

In dieser Arbeit werden Methoden der Gebietsoptimierung zur Loesung des Aeusseren Bernoulli freien Randwertproblemes betrachtet. Der Fokus der Arbeit liegt auf einem Zugang, bei welchem ein Gebiet ein Kohn-Vogelius aehnliches Funktional durch Loesen von zwei simultanen partiellen Differentialgleichungen minimiert. Eine davon ist ein Dirichlet Problem, die andere ein Neumann Problem. Die Eulerschen Ableitungen erster und zweiter Ordnung werden ueber verschiedene Zugaenge berechnet. Ein Zugang zur Eulerschen Ableitung erster Ordnung umgeht die Berechnung der Gebietsableitungen fuer die Zustandsgroessen durch deren Hoelder stetige Abhaengigkeit vom zugrunde liegenden Gebiet. Ein anderer Zugang hingegen beruht auf der Verwendung der Gebietsableitungen der Zustandsgroessen. Diese Technik benoetigt jedoch mehr Glattheit der Zustandsgroessen, welche durch eine hoehere Glattheit des zugrundeliegenden Gebietes sichergestellt werden muss. Es wird auch bemerkt, dass die Eulersche Ableitung des Kostenfunktionals ohne adjungierte Variable formuliert werden kann. Die Berechnung der zweiten Eulerschen Ableitung verwendet die materielle und die Gebietsableitung deer Zustandsgroessen. Drei Zugaenge werden vorgestellt. Keine dieser Techniken benoetigt jedoch weder die Gebietsableitung zweiter Ordnung der Zustandsgroessen, noch ist der Einsatz von adjungierten Variablen erforderlich. Der resultierende Ausdruck fuer die zweite Ableitung des Kostenfunktionals vereinfacht sich erheblich in der Loesung des Bernoulli Problems. In this work, the exterior Bernoulli free boundary problem is being considered. The solution of this problem is studied via shape optimization techniques. In particular, the paper focuses on determining a domain that gives a minimum value for the Kohn-Vogelius-type cost functional by simultaneously solving two PDE constraints. One is a pure Dirichlet boundary value problem and the other is a Neumann boundary value problem. The first- and second-order Eulerian derivatives of the cost functional are computed by several approaches. For the first-order Eulerian derivative one approach used bypasses the computation of the shape derivatives of the state variables by utilizing the Hoelder continuity of the states. A second approach, on the other hand, uses the shape derivatives of the states. This approach however requires more smoothness of the states which is ensured by higher regularity of the domains. It is also observed that the Eulerian derivative of the cos