Dualidad gap en programacion convexa

Siempre que se está planteando un problema de optimización cabe preguntarse si existe otro problema asociado al anterior que permita, entre otras cosas, resolver el primero en forma más sencilla, aprovechando las propiedades que el segundo tiene como pudiera ser la concavidad de la función objetivo, la menor dimensión, y/o la simplicidad de las restricciones, etc. Son los problemas primal y dual. Si además, como problema primal consideramos un programa convexo, el problema dual que lo caracteriza es tal que resuelto éste se puede resolver aquél, así como analizar su sensibilidad. Estructuramos este trabajo de la forma siguiente: En la sección 1 se desarrollan los conceptos básicos sobre dualidad, entre ellos el de dualidad gap, enunciándose el teorema de la dualidad débil. La sección 2 está dedicada a las condiciones bajo las que coinciden las soluciones del problema primal y dual, (dualidad gap cero). Estas condiciones se basan en las propiedades de convexidad del problema original y la cualificación de Slater, justificándose mediante el teorema de dualidad fuerte (condición suficiente pero no necesaria). En la sección 3 se da una condición más general que la cualificación de Slater, llamada propiedad D, que en cierto sentido es una caracterización de la ausencia de la dualidad gap. Whenever an optimization problem is planned it is necessary to wonder if there exists another associated problem, to the previous one, that allows, among other things, to solve the former in a simpler way, taking advantage from the properties of the second as the concavity of the function objective, its smallest dimension, and/or the simplicity of the constraints, etc. They are the primal and dual problems. If in addition we consider that the primal problem is a convex program, the dual problem that characterizes it is such that by solving the other it is also solved as well as allows to analyse its sensibility. We structure this work in the following way: In section 1 the basic concepts on duality are developed, among them that of duality gap, the theorem of the weak duality is enunciated. Section 2 is dedicated to the conditions under which a coincidence between the solutions of the primal and dual problem coincide, (duality gap zero). These conditions are based on the properties of convexity of the original problem and the qualification of Slater, being justified by the strong duality theorem (necessary but not necessary condition). In section 3 a more general condition is