Estimation Bias in Spatial Models with Strongly Connected Weight Matrices

This article shows that, for both spatial lag and spatial error models with strongly connected weight matrices, maximum likelihood estimates of the spatial dependence parameter are necessarily biased downward. In addition, this bias is shown to be present in general Moran tests of spatial dependency. Thus, positive dependencies may often fail to be detected when weight matrices are strongly connected. The analysis begins with a detailed examination of downward bias for the extreme case of maximally connected weight matrices. Results for this case are then extended by continuity to a broader range of (appropriately defined) strongly connected matrices. Finally, a simulated numerical example is presented to illustrate some of the practical consequences of these biases. El siguiente estudio demuestra que en los casos en los cuales las matrices de pesos (o conectividad) poseen alta conectividad, la estimación de máxima verosimilitud (‘maximum likelihood’) del parámetro de dependencia espacial en los modelos de autorregresión presenta necesariamente un sesgo estadístico negativo (ya sean modelos de retardo espacial ‘spatial lag’ o de error espacial ‘spatial error’). Adicionalmente, se demuestra que este sesgo está presente en el test de Moran de dependencia (autocorrelación) espacial, y por lo tanto es posible que las dependencias positivas no sean detectadas cuando la conectividad de la matriz de pesos es muy alta. El análisis que se presenta en este artículo comienza con un detallado examen del sesgo negativo para el caso extremo de una matriz con conectividad máxima. Los resultados para este caso son luego aplicados para un rango más amplio de matrices con conectividad alta. Finalmente, se presenta una simulación numérica como ejemplo para ilustrar las consecuencias prácticas de los sesgos negativos mencionados. 本文研究表明，对于具有强连接权重矩阵的空间滞后和空间误差模型，空间相关性参数的最大似然估计必然存在偏差。这种偏差同样也存在于常用的空间相关性Moran检测中。因此，当权重矩阵处于强连接状态下，可能无法检测到其正相关性。本文详细分析了极端情况下最大连接权重矩阵存在的向下偏差，并不断地向更多类型的（恰当界定的）强连接权重矩阵延拓。最后借助于数值模拟，进一步分析了这些偏差的实际影响效果。