On first countable and minimal topological spaces

In this paper, we study the concept of minimal topological spaces and its relation with first countable space, we prove that if X is first countable completely regular space, then the following are equivalent. • X is first countable and minimal completely regular space. • X is first countable and completely regular – closed space. A first countable and minimal Urysohn is semi regular and Let} :)({Mnnx? be a collection of a topological spaces and )(nxX? =, then X is first countable and Hausdorff – closed if and only if each x (n) is first countable and Hausdorff – closed. في هذا البحث درسنا مفهوم الفضاءات التبولوجية الأصغرية و علاقتها بالفضاء المعدود الأولي و برهنا إذا كانت X فضاء معدود أولي و منتظم كامل فإن العبارتين التاليتين متكافئتين : . X فضاء معدود أولي و منتظم كامل أصغري. . X فضاء معدود أولي و منتظم كامل - مغلق. و برهنا أي فضاء معدود أولي و يوريزون أصغري فإنه يكون فضاء شبه منتظم. و لتكن {x(n) : n ϵ M} عائلة من الفضاءات التبولوجيـة و X = П x (n)، فإن X فضاء معدود أولي و هاوسدورف - مغلق إذا و فقط إذا كان X(n) فضاء معدود أولي و هاوسدورف - مغلق.