On approximating the quasi-arithmetic mean

In this article, we prove that the double inequalities α 1 [ 7 C ( a , b ) 16 + 9 H ( a , b ) 16 ] + ( 1 − α 1 ) [ 3 A ( a , b ) 4 + G ( a , b ) 4 ] < E ( a , b ) < β 1 [ 7 C ( a , b ) 16 + 9 H ( a , b ) 16 ] + ( 1 − β 1 ) [ 3 A ( a , b ) 4 + G ( a , b ) 4 ] , [ 7 C ( a , b ) 16 + 9 H ( a , b...

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Veröffentlicht in:Journal of inequalities and applications 2019-02, Vol.2019 (1), p.1-12, Article 42
Hauptverfasser: Zhao, Tie-Hong, Zhou, Bu-Chuan, Wang, Miao-Kun, Chu, Yu-Ming
Format: Artikel
Sprache:eng
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Beschreibung
Zusammenfassung:In this article, we prove that the double inequalities α 1 [ 7 C ( a , b ) 16 + 9 H ( a , b ) 16 ] + ( 1 − α 1 ) [ 3 A ( a , b ) 4 + G ( a , b ) 4 ] < E ( a , b ) < β 1 [ 7 C ( a , b ) 16 + 9 H ( a , b ) 16 ] + ( 1 − β 1 ) [ 3 A ( a , b ) 4 + G ( a , b ) 4 ] , [ 7 C ( a , b ) 16 + 9 H ( a , b ) 16 ] α 2 [ 3 A ( a , b ) 4 + G ( a , b ) 4 ] 1 − α 2 < E ( a , b ) < [ 7 C ( a , b ) 16 + 9 H ( a , b ) 16 ] β 2 [ 3 A ( a , b ) 4 + G ( a , b ) 4 ] 1 − β 2 hold for all a , b > 0 with a ≠ b if and only if α 1 ≤ 3 / 16 = 0.1875 , β 1 ≥ 64 / π 2 − 6 = 0.484555 … , α 2 ≤ 3 / 16 = 0.1875 and β 2 ≥ ( 5 log 2 − log 3 − 2 log π ) / ( log 7 − log 6 ) = 0.503817 … , where E ( a , b ) = ( 2 π ∫ 0 π / 2 a cos 2 θ + b sin 2 θ d θ ) 2 , H ( a , b ) = 2 a b / ( a + b ) , G ( a , b ) = a b , A ( a , b ) = ( a + b ) / 2 and C ( a , b ) = ( a 2 + b 2 ) / ( a + b ) are the quasi-arithmetic, harmonic, geometric, arithmetic and contra-harmonic means of a and b , respectively.
ISSN:1029-242X
1025-5834
1029-242X
DOI:10.1186/s13660-019-1991-0