Explicit Solution and Fine Asymptotics for a Critical Growth-Fragmentation Equation

We give here an explicit formula for the following critical case of the growth-fragmentation equation ∂/∂tu(t,x)+∂/∂x(gxu(t,x))+bu(t,x)=bα 2 u(t,αx), u(0,x)=u 0 (x) for some constants g > 0, b > 0 and α >1 - the case α = 2 being the emblematic binary fission case. We discuss the links between this formula and the asymptotic ones previously obtained in [8], and use them to clarify how periodicity may appear asymptotically. Nous donnons ici une solution explicite de l’équation de croissance-fragmentation dans le cas critique suivant ∂/∂tu(t,x)+∂/∂x(gxu(t,x))+bu(t,x)=bα 2 u(t,αx), u(0,x)=u 0 (x) pour des constantes g > 0, b > 0 et α > 1 - le cas α = 2 correspondant au cas emblématique de la fission binaire. Malgré l’absence de comportement auto-similaire ou stationnaire, nous employons cette formule pour mettre en évidence un comportement asymptotique périodique, de période variable en fonction de la courbe (t, x(t) = e rt ) suivie. Nous discutons également les liens entre cette formulation et celles obtenues précédemment dans [8].