Contribution to the qualitative study of planar differential systems

Aquesta tesi es situa en el marc de la teoria qualitativa dels sistemes diferencials en el pla. Cada capítol conté un aspecte diferent. A la introducció, es dóna un resum dels resultats més coneguts i s'hi introdueix la notació que es fa servir al llarg de la tesi. En particular, descrivim el problema de la integrabilitat i alguns resultats sobre la determinació de l'estabilitat d'un punt singular o d'una òrbita periòdica a fi de presentar els darrers capítols. El problema de la integrabilitat es defineix com el problema de trobar la integral primera d'un sistema d'equacions diferencials en el pla i determinar la classe funcional a la qual pertany. Els Capítols 2 i 3 tracten el problema de la integrabilitat. En el Capítol 2 donem un resultat que permet trobar una expressió explícita per a una integral primera d'un cert tipus de sistemes polinomials. Mitjançant un canvi racional de variables, fem correspondre a una equació diferencial lineal homogènia de segon ordre: A2(x) w'(x) + A1(x) w'(x) + A0(x) w(x) = 0, els coeficients de la qual són polinomials, a un sistema diferencial polinomial pla. Provem que aquest sistema té un invariant per a cada solució arbitrària no nul·la w(x) de l'edo de segon ordre, que, quan w(x) és un polinomi, dóna lloc a una corba algebraica invariant. A més, donem una expressió explícita per a una integral primera del sistema construïda a partir de dues solucions independents de l'edo de segon ordre. Aquesta integral primera no és, en general, una funció Liouvilliana. Finalment, verifiquem que tots els exemples coneguts de famílies de sistemes quadràtics amb una corba algebraica invariant de grau arbitràriament alt es poden descriure mitjançant aquesta construcció (mòdul transformacions birracionals). En el Capítol 3, les corbes algebraiques invariants d'un sistema diferencial polinomial pla juguen el paper fonamental. Si un sistema diferencial polinomial pla té una corba algebraica invariant irreductible, aleshores els valors del seu cofactor en cadascun dels punts singulars no degenerats estan determinats. De fet, aquest valor es una combinació lineal a coeficients naturals dels valors propis associats al punt singular no degenerat. Aquests coeficients naturals es poden determinar completament en alguns casos depenent de la natura del punt singular. Així mateix, els punts de l'infinit també es poden tenir en compte. Un cop considerem el sistema en el pla projectiu complex, el grau d'una corba algebraica invariant esdevé un paràme