Variations on a question concerning the degrees of divisors of x n — 1

Dans cet article, nous étudions une question naturelle concernant les diviseurs du polynôme xn – 1: à quelle fréquence xn – 1 possède-t-il un diviseur de chaque degré entre 1 et n ? Dans un travail précédent, nous avons étudié la factorisation de xn – 1 dans Z[x]. Pour le présent article, nous étudions la factorisation de ce polynôme dans Fp[x], où p est un nombre premier fixé. Nous analysons aussi l'ensemble des n pour lesquels xn – 1 se factorise dans Fp [x] pour tout p. In this paper, we examine a natural question concerning the divisors of the polynomial xn – 1: "How often does xn – 1 have a divisor of every degree between 1 and n?" In a previous paper, we considered the situation when xn – 1 is factored in Z[x]. In this paper, we replace Z[x] with Fp[x], where p is an arbitrary-but-fixed prime. We also consider those n where this condition holds for all p.