The summatory function of q-additive functions on pseudo-polynomial sequences

Le présent article étudie la fonction sommatoire de fonctions définies sur les chiffres en base q. En particulier, si ç est un entier positif, nous notons $n\, = \,\sum\limits_{r = 0}^l {{d_r}\left( n \right){q^r}} $ avac dr(n) ϵ {0,...,q -1} son développement en base q. Nous disons qu'une fonction f est strictement q-additive si, pour une valeur donnée, elle agit uniquement sur les chiffres de sa représentation, i.e., $f\left( n \right)\, = \,\sum\limits_{r = 0}^l {f\left( {{d_r}\left( n \right)} \right)} $ Soit p(x) = α₀xβo+···+αdXβd avac α₀, α₁,...,αd, ϵ ℝ, α₀ > 0, β₀ > ··· > ₀d ≥ 1et au moins un βi ∉ ℤ. Un tel p est appelé pseudo-polynôme. Le but est de prouver que pour f une fonction q-additive, il existe un ε > 0 tel que $\sum\limits_{n \leqslant N} {f\left( {\left\lfloor {p\left( n \right)} \right\rfloor } \right)} \, = \,{\mu _f}\,N\,{\log _q}\left( {P\left( n \right)} \right)\, + \,N{F_{f,\beta 0}}\left( {{{\log }_q}\left( {p\left( N \right)} \right)} \right) + \,O\,\left( {{N^{1 - \varepsilon }}} \right)$ où µf est la moyenne des valeurs de f et Ff, β₀ est une fonction 1-périodique derivable nulle part. Ce résulat est motivé par des résultats de Nakai et Shiokawa et de Peter. The present paper deals with the summatory function of functions acting on the digits of an q-ary expansion. In particular let n be a positive integer, then we call $n\, = \,\sum\limits_{r = 0}^l {{d_r}\left( n \right){q^r}} $ its q-ary expansion. We call a function f strictly q-additive, if a given value, it acts only on the digits of its representation, i.e., $f\left( n \right)\, = \,\sum\limits_{r = 0}^l {f\left( {{d_r}\left( n \right)} \right)} $ Let p(x) = α₀xβo+···+αdXβd with α₀, α₁,...,αd, ϵ ℝ, α₀ > 0, β₀ > ··· > ₀d ≥ 1et au moins un βi ∉ ℤ. Then call p a pseudo-polynomial. The goal is to prove that for a ç-additive function f there exists an ε > 0 such that $\sum\limits_{n \leqslant N} {f\left( {\left\lfloor {p\left( n \right)} \right\rfloor } \right)} \, = \,{\mu _f}\,N\,{\log _q}\left( {P\left( n \right)} \right)\, + \,N{F_{f,\beta 0}}\left( {{{\log }_q}\left( {p\left( N \right)} \right)} \right) + \,O\,\left( {{N^{1 - \varepsilon }}} \right)$ where µf is the mean of the values of f and Ff,β0 is a 1-periodic nowhere differentiable function. This result is motivated by results of Nakai and Shiokawa and Peter.