On the Delta set of a singular arithmetical congruence monoid

Si a et b sont des entiers positifs, avec a ≤ b et a² = a mod b, l'ensemble Ma,b = {x ϵ N : x = a mod b ou x = 1} est un monoïde multiplicatif, appelé monoïde de congruence arithmétique (ACM). Pour chaque monoïde avec ses unites Mx et pour chaque x ϵ M\Mx, nous dirons que t ϵ ℕ est une longueur de décomposition en facteurs de x si et seulement s'il existe des éléments irréductibles y₁,..., yt ϵ M tels que x = y₁···yt. Soit ℒ(x) = {t₁,...,tj} Pensemble des longueurs (avec ti < ti+1 pour i < j). Le Delta-ensemble d'un element x est Δ(x) = {ti+1 - ti : 1 ≤ i < j} et le Delta-ensemble du monoïde M est $\bigcup {_{x \in M\backslash {M^x}}\Delta \left( x \right)} $. Nous examinons Δ(M) quand M = Ma,b est un ACM avec pgcd(a, b) > 1. Cet ensemble est completement caractérisé quand pgcd(a,b) = pα, p un nombre premier et α > 0. Quand pgcd(a, b) a plus d'un facteur premier, nous donnons des bornes pour Δ(M). If a and b are positive integers with a ≤ b and a² ≡ a mod b, then the set Ma,b = {x ϵ N : x = a mod b ou x = 1} is a multiplicative monoid known as an arithmetical congruence monoid (or ACM). For any monoid M with units Mx and any x ϵ M\Mx we say that t ϵ ℕ is a factorization length of x if and only if there exist irreducible elements y₁, ..., yt of M and x = y₁ ··· yt - Let ℒ(x) = {t₁, . . . ,tj} be the set of all such lengths (where ti < ti+1 whenever i < j). The Delta-set of the element x is defined as the set of gaps in ℒ(x): Δ(x) = {ti+1 - ti : 1 ≤ i < k} and the Delta-set of the monoid M is given by $\bigcup {_{x \in M\backslash {M^x}}\Delta \left( x \right)} $. We consider the Δ(M) when M = Ma,b is an ACM with gcd(a, b) > 1. This set is fully characterized when gcd(a, b) = pα for p prime and α > 0. Bounds on Δ(Ma,b) are given when gcd(a,b) has two or more distinct prime factors.