The exact order of discrepancy for Levin’s normal number in base 2

Dans [4], Mordechay B. Levin a construit un nombre a qui est normal en base 2 et tel que la suite {2 n α} n = 0, 1, 2,… a une très faible discrépance D N . En effet, nous avons N · D N = O ((log N)²). Cela signifie que a est un nombre normal de très haute qualité. Dans cet article, nous montrons que cette estimation est la meilleure possible, c’est-à-dire que N · D N ≥ c ·(log N)² pour une infinité de N. Mordechay B. Levin in [4] has constructed a number a which is normal in base 2, and such that the sequence {2 n α} n = 0, 1, 2,… has very small discrepancy D N . Indeed we have N · D N = O ((log N)²). That means, that a is normal of extremely high quality. In this paper we show that this estimate is best possible, i.e., N · D N ≥ c · (log N)² for infinitely many N.