Asymptotic behavior of class groups and cyclotomic Iwasawa theory of elliptic curves

Dans cet article, nous étudions une relation entre certains quotients de groupes des classes d’idéaux et le module d’Iwasawa cyclotomique X∞ du dual de Pontrjagin du groupe de Selmer fin d’une courbe elliptique E sur ℚ. Nous considérons l’extension galoisienne K n E de ℚ engendrée par les coordonnées des points de p n -torsion de E et introduisons le quotient A n E du p-Sylow du groupe des classes d’idéaux de K n E découpé par la représentation galoisienne modulo p n sur le groupe E [p n ]. Nous décrivons le comportement asymptotique des A n E en utilisant le module d’Iwasawa X∞. En particulier, sous certaines conditions, nous obtenons une formule asymptotique à la Iwasawa pour l’ordre de A n E en utilisant les invariants d’Iwasawa de X∞. In this article, we study a relation between certain quotients of ideal class groups and the cyclotomic Iwasawa module X∞ of the Pontrjagin dual of the fine Selmer group of an elliptic curve E defined over ℚ. We consider the Galois extension field K n E of ℚ generated by coordinates of all p n -torsion points of E, and introduce a quotient A n E of the p-Sylow subgroup of the ideal class group of K n E cut out by the modulo p n Galois representation E [p n ]. We describe the asymptotic behavior of A n E by using the Iwasawa module X∞. In particular, under certain conditions, we obtain an asymptotic formula as Iwasawa’s class number formula on the order of A n E by using Iwasawa’s invariants of X∞.