On the distribution of αp modulo one in imaginary quadratic number fields with class number one

Nous étudions la répartition de αp modulo un dans les corps quadratiques imaginaires K ⊂ C dont le nombre de classes est égal à un, où p parcourt l’ensemble des idéaux premiers de l’anneau des entiers O = Z[ω] de K. Par analogie avec un résultat classique dû à R. C. Vaughan, nous obtenons que l’inégalité ||αp|| ω < N(p)−1/8+ε est satisfaite pour une infinité de p, où ||ρ|| ω mesure la distance de ρ ∈ C à O et N(p) est la norme de p. La preuve est basée sur la méthode du crible de Harman et utilise des analogues pour les corps de nombres d’idées classiques dues à Vinogradov. De plus, nous introduisons un lissage qui nous permet d’utiliser la formule sommatoire de Poisson. We investigate the distribution of αp modulo one in imaginary quadratic number fields K ⊂ C with class number one, where p is restricted to prime elements in the ring of integers O = Z[ω] of K. In analogy to classical work due to R. C. Vaughan, we obtain that the inequality ||αp||ω < N(p)−1/8+ε is satisfied for infinitely many p, where ||ρ|| ω measures the distance of ρ ∈ C to O and N(p) denotes the norm of p. The proof is based on Harman’s sieve method and employs number field analogues of classical ideas due to Vinogradov. Moreover, we introduce a smoothing which allows us to make conveniently use of the Poisson summation formula.