Semi-martingale decomposition and heat kernel estimates of reflected stable-like processes with variable order

Мы изучаем отраженные симметричные процессы устойчивого типа (на компактном множестве $\overline{E}\subset\mathbf{R}^d$), ассоциированные с нелокальными формами Дирихле, в случае переменного порядка $\alpha{( \cdot ,\cdot )}$ в ядре интенсивности скачков. Сначала, предполагая выполненными двусторонние оценки непрерывной переходной плотности отраженного процесса устойчивого типа $(X_t)_{t \ge 0}$, мы получаем, аналогично [10], семимартингальное разложение процесса $(X_t)_{t \ge 0}$. Затем, при некоторых дополнительных условиях на $\alpha{( \cdot ,\cdot )}$, мы выводим в явном виде верхние и нижние оценки для непрерывной по Гeльдеру переходной плотности процесса $(X_t)_{t \ge 0}$. We investigate symmetric reflected stable-like processes on a compact set $ \overline{E} \subset \mathbf{R}^d$ associated to nonlocal Dirichlet forms with variable order $\alpha{( \cdot ,\cdot )}$ in the jump intensity kernels. First, assuming two-sided estimates of the continuous transition density of the reflected stable-like process $(X_t)_{t \ge 0}$, similarly to [Q.-Y. Guan and Z.-M. Ma, Probab. Theory Related Fields, 134 (2006), pp. 649-694], we obtain the semimartingale decomposition of the process $(X_t)_{t \ge 0}$. Then by adding more conditions on $\alpha{( \cdot ,\cdot )}$, we explicitly derive upper and lower bound estimates of the Hölder continuous transition density of $(X_t)_{t \ge 0}$.