Joint statistics of random walk on $Z^1$ and accumulation of visits

Найдено совместное распределение $P_N(X,K | Z)$ состояния $X$ [в момент $N$] простого симметричного случайного блуждания по одномерной целочисленной решетке и числа [$K$] посещений этим блужданием фиксированного состояния $Z$ [за время $N$]. Указанное распределение имеет простую форму в терминах распределения $p_{N'} (X')$ лишь одной случайной величины, где $N'=N-K$, а $X'$ - случайная функция, зависящая от $X$, $K$ и $Z$. Найдены также одномерные распределения случайных величин $X$ и $K$, а также (после соответствующих нормировок) их диффузионные пределы. We obtain the joint distribution $P_N(X,K | Z)$ of the location $X$ of a one-dimensional symmetric next neighbor random walk on the integer lattice, and the number of times the walk has visited a specified site $Z$. This distribution has a simple form in terms of the one variable distribution $p_{N'} (X')$, where $N'=N-K$ and $X'$ is a function of $X$, $K$, and $Z$. The marginal distributions of $X$ and $K$ are obtained, as well as their diffusion scaling limits.