(2+1)$-мерная гравитация, взаимодействующая с пылевой оболочкой. Квантование в терминах глобальных переменных фазового пространства

Проводится канонический анализ модели, в которой гравитация взаимодействует со сферически-симметричной пылевой оболочкой в $2+1$ измерениях пространства-времени. Результатом является редуцированное действие, зависящее от конечного числа степеней свободы. Основной акцент сделан на нахождении канонических переменных, которые обеспечили бы глобальную параметризацию всего фазового пространства модели. Оказывается, что различные области импульсного пространства, соответствующие различным ветвям решения уравнений Эйнштейна, образуют единое многообразие с геометрией AdS$_2$. Глобальная параметризация этого многообразия обеспечивается углами Эйлера. Квантование в этих переменных ведет к некоммутативности, а также к дискретности в координатном пространстве, что позволяет устранить центральную сингулярность. Также найдено преобразование между полученным здесь импульсным пространством AdS$_2$ и импульсным пространством в переменных Кухаржа, что может оказаться полезным при обобщении полученных результатов на случай $3+1$ измерений. We perform a canonical analysis of a model in which gravity is coupled to a spherically symmetric dust shell in $2{+}1$ space-time dimensions. The result is a reduced action depending on a finite number of degrees of freedom. We emphasize finding canonical variables supporting a global parameterization for the entire phase space of the model. It turns out that different regions of the momentum space corresponding to different branches of the solution of the Einstein equation form a single manifold in the ADS$_2$ geometry. The Euler angles support a global parameterization of that manifold. Quantization in these variables leads to noncommutativity and also to discreteness in the coordinate space, which allows resolving the central singularity. We also find the map between the ADS$_2$ momentum space obtained here and the momentum space in Kuchař variables, which could be helpful in extending the obtained results to $3{+}1$ dimensions.