Оператор Шредингера в полуплоскости с условием Неймана на границе и сингулярным $\delta$-потенциалом, сосредоточенным на двух лучах, и системы функционально-разностных уравнений

Изучается асимптотика по расстоянию для собственной функции оператора Шредингера в полуплоскости с сингулярным $\delta$-потенциалом с носителем, сосредоточенным на двух лучах. Оператор такого типа встречается в задачах рассеяния трех одномерных квантовых частиц с точечным парным взаимодействием при некоторых дополнительных ограничениях, а также в задачах дифракции волн в клиновидных и конусовидных областях. С помощью представления Конторовича-Лебедева задача построения собственной функции оператора сводится к изучению системы однородных функционально-разностных уравнений с характеристическим (спектральным) параметром. Изучены свойства решений такой системы однородных функционально-разностных уравнений второго порядка с потенциалом из специального класса. В зависимости от значений характеристического параметра в уравнениях описаны их нетривиальные решения, собственные функции уравнения. Исследование этих решений основано на сведении системы к интегральным уравнениям с самосопряженным ограниченным оператором, который является вполне непрерывным возмущением матричного оператора Мeлера. Предложены достаточные условия существования дискретного спектра правее существенного для возмущенного оператора Мeлера. Изучены условия конечности дискретного спектра. Эти результаты применяются в рассматриваемой задаче в полуплоскости. С помощью перехода от представления Конторовича-Лебедева к интегральному представлению Зоммерфельда построена асимптотика по расстоянию собственной функции рассматриваемого оператора Шредингера. We study the asymptotics with respect to distance for the eigenfunction of the Schrödinger operator in a half-plane with a singular $\delta$-potential supported by two half-lines. Such an operator occurs in problems of scattering of three one-dimensional quantum particles with point-like pair interaction under some additional restrictions, as well as in problems of wave diffraction in wedge-shaped and cone-shaped domains. Using the Kontorovich-Lebedev representation, the problem of constructing an eigenfunction of an operator reduces to studying a system of homogeneous functional-difference equations with a characteristic (spectral) parameter. We study the properties of solutions of such a system of second-order homogeneous functional-difference equations with a potential from a special class. Depending on the values of the characteristic parameter in the equations, we describe their nontrivial solutions, the eigenfunctions of the equation. The study o