Проблема Ферма-Штейнера в пространстве компактных подмножеств $\mathbb R^m$ с метрикой Хаусдорфа

Проблема Ферма-Штейнера состоит в поиске всех точек метрического пространства $X$, в которых достигает минимума сумма расстояний до фиксированных точек $A_1,…,A_n$ из $X$. Эта задача изучается в метрическом пространстве $\mathscr{H}(\mathbb R^m)$ всех непустых компактных подмножеств евклидова пространства, где $A_i$ - его попарно не пересекающиеся конечные подмножества. Множество решений (так называемых компактов Штейнера) разбивается на классы, различающиеся наборами расстояний до точек $A_i$. В каждом классе существуют наибольший и минимальные по включению элементы (соответственно максимальный и минимальные компакты Штейнера). В работе получен критерий того, когда компакт является минимальным компактом Штейнера в заданном классе, приведен алгоритм построения таких компактов, получена точная оценка на число точек в них. Также доказан ряд геометрических свойств минимальных и максимальных компактов. Результаты данного исследования могут существенно облегчить решение конкретных задач, что продемонстрировано на известном примере симметричного множества $\{A_1,A_2,A_3\}\subset \mathbb R^2$, для которого все компакты Штейнера несимметричны. Разбор этого случая удалось значительно упростить благодаря развитой в работе технике. Библиография: 16 названий. The Fermat-Steiner problem consists in finding all points in a metric space $X$ at which the sum of the distances to fixed points $A_1,…,A_n$ of $X$ attains its minimum value. This problem is studied in the metric space $\mathscr{H}(\mathbb R^m)$ of all nonempty compact subsets of the Euclidean space $\mathbb R^m$, and the $A_i$ are pairwise disjoint finite sets in $\mathbb R^m$. The set of solutions of this problem (which are called Steiner compact sets) falls into different classes in accordance with the distances to the $A_i$. Each class contains an inclusion-greatest element and inclusion-minimal elements (a maximal Steiner compact set and minimal Steiner compact sets, respectively). We find a necessary and sufficient condition for a compact set to be a minimal Steiner compact set in a given class, provide an algorithm for constructing such compact sets and find a sharp estimate for their cardinalities. We also put forward a number of geometric properties of minimal and maximal compact sets. The results obtained can significantly facilitate the solution of specific problems, which is demonstrated by the well-known example of a symmetric set $\{A_1,A_2,A_3\}\subset\mathbb R^2$, for which all Steiner compact se