Гипергеометрическая функция Лауричеллы $F_D^{(N)}$, задача Римана-Гильберта и некоторые приложения

Рассматривается проблема аналитического продолжения функции,Лауричеллы $F_D^{(N)}$ - обобщенной гипергеометрической функции $N$ комплексных переменных. При произвольном $N$ указан полный набор формул аналитического продолжения этой функции за границу единичного поликруга, в котором она первоначально определена в виде $N$-кратного гипергеометрического ряда. Такие формулы представляют функцию $F_D^{(N)}$ в подходящих подобластях $\mathbb{C}^N$ через другие обобщенные гипергеометрические ряды, являющиеся решениями той же системы уравнений с частными производными, которой удовлетворяет $F_D^{(N)}$. Эти гипергеометрические ряды являются $N$-мерным аналогом решений Куммера, известных в теории классического гипергеометрического уравнения Гаусса. В работе также обсуждается применение этой функции к теории задачи Римана-Гильберта и даются приложения к проблеме параметров интеграла Кристоффеля-Шварца и задачам физики плазмы. Библиография: 163 названия. The problem of analytic continuation is considered for the Lauricella function $F_D^{(N)}$, a generalized hypergeometric functions of $N$ complex variables. For an arbitrary $N$ a complete set of formulae is given for its analytic continuation outside the boundary of the unit polydisk, where it is defined originally by an $N$-variate hypergeometric series. Such formulae represent $F_D^{(N)}$ in suitable subdomains of $\mathbb{C}^N$ in terms of other generalized hypergeometric series, which solve the same system of partial differential equations as $F_D^{(N)}$. These hypergeometric series are the $N$-dimensional analogue of Kummer's solutions in the theory of Gauss's classical hypergeometric equation. The use of this function in the theory of the Riemann-Hilbert problem and its applications to the Schwarz-Christoffel parameter problem and problems in plasma physics are also discussed. Bibliography: 163 titles.